教学设计中对”问题“设计

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 作业-----《-我在教学设计中对数学“问题”的设计》

 在 1976 年,25 位国际著名数学家于美国伊利诺斯大学的一次国际会议上提吃了 27 个数学问题,围绕着这些问题或猜想的数学活动与攻关,无疑推动着数学科学的发展,可见数学教学的最终落脚点必然就是解决数学问题。

 问题就是学习数学的心脏,好的数学问题更就是学好数学的灵魂。在中学数学教学中,教师若能自由驾驭教材,随时设计出符合教学要求,切合学生实际的好的数学问题,必将极大地激发学生学习数学的兴趣,如果能够让学生根据自己的数学能力提出有创意的数学问题,那就更能有效地提高她们学习数学、应用数学的能力。

 通过本次“有效教学模式”专题的培训学习,使我的保证课堂教学有效性的能力得以提升,学生学习的有效性有了保障, 教学模式从来就就是多样化的,但不论何种模式,必须以促进“学生有效学习”为终极目标。下面就是我的一节习题课的片段,我的设计意图就是“促进学生有效学习,提高用数学意识,提升用所学数学知识提出数学问题,解决实际问题的能力”。我把几个主要问题的设计思想归纳如下: 一、倒推法

  这就是根据事先想好的答案来设计相应问题的方法,实际上也就是一种由答案出题目的方法,用这种方法编造的题目,由于推演的过程不一定就是可逆的,其解不一定刚好就是预定的结果,要想完全按预定结果编题,就必须在倒推过程中,注意保证处处可逆。

 例:请同学 设计一道以 x=1+ⅰ,y=1—ⅰ为解的二元一次方程组的题。

 同学们根据设计要求分析讨论后明确; 因为以x=1+ⅰ,y=1—ⅰ为解的二元一次方程组具有标准形式: α1﹙1﹢ⅰ﹚﹢β1﹙1﹣ⅰ﹚=γ1,

  {

 α2﹙1﹢ⅰ﹚﹢β2﹙1﹣ⅰ﹚=γ2,

  所以只要定出α1、α2、β1、β2、γ1、γ2 即可。由于这六个参数中,独立的只要四个,任给α1=1﹢2ⅰ,β1=2﹢ⅰ,α2=1﹣2ⅰ,β2=2﹣ⅰ,代入上式可算出γ1=2﹢2ⅰ,γ2=4﹣4ⅰ。于就是一道以预先给定的 1±ⅰ为解的二元一次方程组的题就设计出来了。然后请其她各组同学展示自己组的设计问题并解答。

 二、 换元法

 这 就是一种对已知命题中的变量进行代换来设计问题的方法,常用的代换方法为简单的代数代换与三角代换。一般地讲,由这种方法设计出来的题目,总就是比较灵活、新颖、复杂。题目往往发生了质的区别。

 例 课堂上与同学们一起 对固定的抛物线方程y’

 ²=4x’作代换:令x’

 =x﹣α,y’

 =y-α,(α∈R),得一变动的抛物线方程﹙y-α﹚²=4﹙x-α﹚,其顶点坐标为﹙α,α﹚,显然分布在定直线 y=x 上,由于抛物线系﹙y-α﹚²=4﹙x-α﹚﹙α∈R﹚可由已知抛物线

 y²=4x“沿直线 y=x 平移”产生,于就是同学们根据平移的性质,小组讨论,总结。一道综合性的解析几何题就设计出来了: “已知抛物线系 x= ¼ ﹙y²-2αy+α²+4α﹚(α∈R),证明它们的顶点分布在一条直线 l 上,并且与抛物线系相交又与 l 平行的直线被此抛物线系戴出的弦长相等”。

 三、变换命题法

 根据四个命题的概念,每一个数学命题都可以变出另外三个题目来:视原题目为原命题,则另外三个题目就分别就是原命题的逆命题,否命题与逆否命题。具有特殊重要意义的逆命题,如果它成立,就得到了一个与原问题完全不同的新问题了,另外,对同一个问题,还可以通过改变其前提结论,或增加、减少它们的条件,或对其进行推广、延伸,得到一系列新问题。

 例 同学们知道平面上的四边形,若四个内角均为 90º°,则此四边形必为矩形,现在把前提扩大一下,让我们在空间来重新考虑这个问题。若空间里的四边形 ABCD 满足∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,瞧瞧 ABCD 就是否还就是矩形。

 c

  A

 D

 E

  B

  图

 2 这里问题的关键在于,此时,A、B、C、D、就是否共面,若共面,结论仍为矩形;若不共面,可设 ABD 平面为π,CE⊥π,E 为垂足,连 BE、DE,则由三垂线定理之逆,知∠ABE=∠ADE=90°,推知∠BED=90°,于就是 BE²+DE²=BD²=BC²+DC²与 BE²+DE²<BC²+DC²显然矛盾,所以 A、B、C、D 不可能不共面。ABCD 为平面四边形,结论仍为矩形。于就是一道饶有趣味的立体几何题通过改变命题的前提就产生了。同学们设计出的有代表性的问题就是:“若 A、B、C、D 就是空间四点,满足∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,则ABCD 就是一个矩形。” 四、几何直观法

 几何图像往往就是数量关系的形象表示,因此几何直观就成了解题与设计问题的一个重要源泉。用这种方法设计数学题,必须对各种曲线的性质有深刻理解,必须善于用运动变化的观点来观察曲线。设计时既要注意到各种几何量的变化情况,也要注意各种几何图形之间的相互关系,用几何直观设计的题目,必须经过严格证明才能引用。

 例 引导学生利用对数函数图像设计一个与 对数有关的题。

 y

  C

  y=㏒αx

 A1

  C ′

 O

 B

 A

 A2

  x

  B′

 图

 2

 同学们观察到 对数函数 y=㏒ α x 在﹙0,1﹚间的图像陡于在﹙1,∞﹚间的图像﹙不论a>1还就是 0<a<1﹚,这意味着,当0<x<1时,│㏒ α ﹙1-x﹚│>㏒ α ﹙1﹢x﹚│这个事实可以用 y=㏒ α x 的凹凸性加以证明,以 a>1 为例。此时 y″

 =﹣1/x²㏑ a<0,y 就是下凹函数。取 A﹙1,0﹚为切点画切线 BC,则整个曲线位于 BC 的下方。设 A1﹙1-X,0﹚,

 过A1 与 X 轴垂直的直线交切于 B,交曲线与 B′。过 A2﹙1+X,0﹚与 X 轴垂直的直线交切于C,交曲线于 C′。上述特性意味着│㏒α﹙1-X﹚│=│A1B′│>│A1B│=│A2C│>│A2C′│=│㏒ a ﹙1+X﹚│。同学们观察到的结果得到证实,通过进一步讨论,同学们设计出问题如下: “证明:当α>0,α≠1 且 0<X<1 时,有│㏒ a ﹙1-X﹚│>│㏒ a ﹙1+X﹚│。”此题的初等证法如下:│㏒ α ﹙1-X﹚│-│㏒ α ﹙1+X﹚│=(1/│lg a │)│lg﹙1-X﹚│-(1/lg a │)│lg﹙1+X﹚=(﹣1/Ilga│)lg﹙1-X﹚-(1/llgα│)lg﹙1+X﹚=(﹣1/│lgα│)lg﹙1-X²﹚>0。

 反思: 本课完成了预定设计目标。

 同学们对这种自己设计问题,自己解决问题的习题课饶有兴趣,活动积极,富有成果,不仅提高了解决问题的能力,而且培养了提出问题的能力与质疑能力。并从中感受到数学的魅力与成功的喜悦。进一步放大了课堂教学实效。

 这种课堂教学设计还应进一步完善,特别就是提出问题的部分还应根据不同学生的能力与需要富有变化,在今后的教学、研究过程中我会做出更多的努力。

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